\subsection{可见光干扰信道集中式波束成形设计}
基于可见光MISO干扰信道可达速率域内界闭式表达式\eqref{Eqn:IC:MISO:InnerBound:ABG}，本节将在每个传输对最小传输速率约束和每个LED最大发射功率约束下，研究集中式最小化发射功率波束成形问题。

对于如图\ref{Fig:IC:MISO:SystemModel}所示的可见光通信系统，其总发射功率可以根据式\eqref{Eqn:IC:MISO:SystemModel:AverageElectricalPower}计算，但是由于式\eqref{Eqn:IC:MISO:SystemModel:AverageElectricalPower}的第二部分为固定的常数，本节只考虑如何最小化式\eqref{Eqn:IC:MISO:SystemModel:AverageElectricalPower}的第一部分，即发射机的动态功率消耗。这一波束成形问题可以描述为
\begin{subequations}\label{Eqn:IC:MISO:Centralized:OrignalProblem:Scalar}
    \begin{align}
    \mathop {\min }\limits_{\left\{ {{{\bf{w}}_i}} \right\}} &~\sum\limits_{i = 1}^K {{\varepsilon _i}{{\left\| {{{\bf{w}}_i}} \right\|}^2}} \label{Eqn:IC:MISO:Centralized:OrignalProblem:Scalar:a}\\
    {\rm{s.t.}}&~\frac{1}{2}{\log _2}\left( {\frac{{2\pi {\sigma ^2} + \sum\limits_{j = 1}^K {{{\left| {{\bf{g}}_{i,j}^T{{\bf{w}}_j}} \right|}^2}{e^{1{\rm{ + }}2\left( {{\alpha _j} + {\gamma _j}{\varepsilon _j}} \right)}}} }}{{2\pi {\sigma ^2} + 2\pi \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^K {{{\left| {{\bf{g}}_{i,j}^T{{\bf{w}}_j}} \right|}^2}{\varepsilon _j}} }}} \right) \ge {R_i},\forall i \in {\cal K},\label{Eqn:IC:MISO:Centralized:OrignalProblem:Scalar:b}\\
    &~\left| {{\bf{e}}_n^T{{\bf{w}}_i}} \right| \le \frac{{{b_i}}}{{{A_i}}},\forall n \in \mathcal{N},\forall i \in \mathcal{K},\label{Eqn:IC:MISO:Centralized:OrignalProblem:Scalar:c}
    \end{align}
\end{subequations}
式中，$ R_i $为第$ i $个传输对的最小传输速率门限，$ \bfe_n $为第$ n $个元素为$ 1 $的单位向量。

因为\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:OrignalProblem:Scalar:b}是非凸二次约束，所以问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:OrignalProblem:Scalar}是一个非凸二次约束二次规划问题，通常是一种NP-难问题。为了能够处理这一问题，定义如下辅助变量
\begin{align*}
{u_i} &\triangleq {e^{1 + 2\left( {{\alpha _i} + {\gamma _i}{\varepsilon _i}} \right)}},\\
{\lambda _{i,j}} &\triangleq 2\pi {\varepsilon _j}{2^{2{R_i}}} - {e^{1 + 2\left( {{\alpha _j} + {\gamma _j}{\varepsilon _j}} \right)}},\\
{c_i} &\triangleq 2\pi {\sigma ^2}\left( {{2^{2{R_i}}} - 1} \right).
\end{align*}
从而可以将问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:OrignalProblem:Scalar}重构为
\begin{subequations}\label{Eqn:IC:MISO:Centralized:OrignalProblem:Vector}
    \begin{align}
    \mathop {\min }_{\left\{ {{{\bf{w}}_i}},\forall i \right\}} &~\sum\limits_{i = 1}^K {{\varepsilon _i}{\bf{w}}_i^T{{\bf{w}}_i}}
    \\
    {\rm{s.t.}}&~{u_i}{\bf{g}}_{i,i}^T{{\bf{w}}_i}{\bf{w}}_i^T{{\bf{g}}_{i,i}} \ge \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^K {{\lambda _{i,j}}{\bf{g}}_{i,j}^T{{\bf{w}}_j}{\bf{w}}_j^T{{\bf{g}}_{i,j}}}  + {c_i},\forall i \in \mathcal{K},\\
    &~{\bf{e}}_n^T{{\bf{w}}_i}{\bf{w}}_i^T{{\bf{e}}_n} \le \frac{{b_i^2}}{{A_i^2}}, \forall n \in \mathcal{N}_T,i \in \mathcal{K}.
    \end{align}
\end{subequations}

问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:OrignalProblem:Vector}可以采用半正定松弛方法进行求解\cite{Chi2017,Luo2010,Palomar2009}。首先定义$ \bfW_i=\bfw_i\bfw_i^T $，使得$ \bfW_i\succeq \vzeros $且$ \rank{\bfW_i}=1 $，之后忽略非凸约束$ \rank{\bfW_i}=1 $，问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:OrignalProblem:Vector}可以松弛为一个凸半正定规划问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP}，并可以通过内点法解出\cite{cvx,Sturm1999}。
\begin{subequations}\label{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP}
    \begin{align}
    \mathop {\min }\limits_{\left\{ {{{\bf{w}}_i}} \right\}} &~\sum\limits_{i = 1}^K {{\varepsilon _i}{\rm{Tr}}\left( {{{\bf{W}}_i}} \right)} \\
    {\rm{s.t.}}&~{u_i}{\rm{Tr}}\left( {{{\bf{W}}_i}{{\bf{g}}_{i,i}}{\bf{g}}_{i,i}^T} \right)  \ge \sum\limits_{j = 1,j \ne i}^K {\lambda _{i,j}}{{\rm{Tr}}\left( {{{\bf{W}}_j}{{\bf{g}}_{i,j}}{\bf{g}}_{i,j}^T} \right)}+{c_i}, \forall i \in \mathcal{K},\label{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP:b}\\
    &~{\rm{Tr}}\left( {{{\bf{W}}_i}{{\bf{e}}_n}{\bf{e}}_n^T} \right) \le \frac{{b_i^2}}{{A_i^2}}, \forall n \in \mathcal{N},i \in \mathcal{K},\label{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP:c}\\
    &~{{\bf{W}}_i} \succeq {\bf{0}},\forall i \in \mathcal{K}.\label{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP:d}
    \end{align}
\end{subequations}

由于进行了半正定松弛，问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP}可能不等价于原始问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:OrignalProblem:Scalar}。但是根据如下定理，问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP}的解$ \bfW_i^\star $可以证明一定是$\mathrm{rank-}1$的，换言之，从问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:OrignalProblem:Vector}转换为问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP}的半正定松弛是不会引起最优性损失的，换言之问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP}的最优解等价于问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:OrignalProblem:Scalar}的最优解。
\begin{theorem}\label{Thm:IC:MISO:Centralized:SDP:Rank1}
    如果问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:SDP}是可达的，那么它的解一定是$\mathrm{rank-}1$的。
\end{theorem}
\begin{proof}
    证明见附录\ref{Apx:IC:MISO:Centralized:SDP:Rank1}。
\end{proof}

因此，在求出$ \bfW_i^\star $之后，可以通过简单的$\mathrm{rank-}1$分解$ \bfW_i^\star=\bfw_i^\star\left(\bfw_i^\star\right)^T $获得问题\eqref{Eqn:IC:MISO:Centralized:OrignalProblem:Scalar}的最优波束成形向量$ \bfw_i^\star $。